数学有啥用 发表于 2018-12-8 17:50:37

曲线长度求解

请问函数f(x)=xsin(1/x)从0到π(或者任意一个正数)的曲线长度是个有限值还是无穷大呢？能否证明？

yinalan 发表于 2018-12-8 20:15:18

本帖最后由 yinalan 于 2018-12-8 20:16 编辑

好复杂........

yinalan 发表于 2018-12-8 20:24:57

这函数图像可以画出来的啊，从零到一个整数的积分就是函数图像的一段长度吗，怎么会是无穷大呢

yinalan 发表于 2018-12-8 21:14:11

无穷大吧

yinalan 发表于 2018-12-8 21:41:49

如果函数是sin(1/x)这个函数在0-1是无数次来会在-1到1之间震荡，从-1到1的直线距离还是2呢，所以每一次震荡相当于弧长增加值大于2，无数个大于2的数相加，结果无穷大∞.

yinalan 发表于 2018-12-8 22:02:04

按照上一个，对于函数x*sin(1/x),取区间,函数x*sin(1/x) 在这个区间的最大值为1/(2*pi*n+pi/2),对应每个这样的区间，对弧长的贡献大于2/(2*pi*n+pi/2).区间就拿(0,1)来说，这个区间内有n个上述区间（n是无穷大），所以有n个2/(2*pi*n+pi/2)相加，是无穷大，这个可以拿调和级数对比

engine 发表于 2018-12-10 16:37:26

令t=1/x是不是更明显，t 从1/n到无穷大，曲线振辐明显在发散
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