【笔记】机械振动_二自由度系统振动

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单自由度系统的运动状态可以用一个坐标完整描述，二自由度系统至少需要两个独立的坐标才能描述。例如由弹簧连接起来的两个质量块、能同时做平动和转动的刚体，都需要两个坐标才能完整的描述系统处于什么运动状态。

两个自由度受力运动分析的基本方法是分别对其中的每一个坐标进行分析，由于两个自由度之间存在联系，其运动也存在相互影响。例如：通过弹簧连接的两个质量块，其中每一个质量的位移均会改变弹簧两端的相对伸长量，引起弹性力，从而对另一个质量的运动产生影响；偏心悬挂的刚体，由于惯性力的因素，其平动与转动是相互影响的。

对两个自由度的运动分析可以得到一个微分方程组，系统的参数可以用矩阵的形式描述，坐标与激励用向量的形式描述。其求解思路与单自由度系统是类似的。

对自由振动的求解能得到系统的固有属性。二维微分方程组有两个特征值和两个特征向量，对应着系统的两个固有频率和主振型（模态向量）。单自由度系统中，自由振动的响应有固有频率，其振幅可大可小，由初始条件确定。二自由度系统中，对应着每一阶固有频率，两个坐标的振动幅值也是由初始条件确定的，可大可小，但两个幅值的比例关系是确定的，且与系统参数有关，反映了系统的固有属性。将这两个幅值写成向量形式就是模态向量，也叫振型，反映了两个自由度的一种空间构形。两个固有频率对应着两个振型。

二维微分方程组的特征根存在零值的可能，也即二自由度系统的一个固有频率可能为零，对应的系统称为非约束或半正定系统。例如：由一根弹簧连接的两个质量块，可以有相对运动，也可以一起作平动；由一根轴连接的两个转子，可以相对转动，也可以一起作刚性转动。非约束系统的特点是，系统没有与基础相连接，具有整体作刚性平动或转动的可能性。

由系统的初始条件可以确定自由振动的具体解，两个自由度对应着四个初始条件。一般的初始条件能同时激起二阶振型，即每一个自由度的响应都包含两个振型的对应成分。

对受迫振动的求解也可以按照单自由度系统的求解思路：两个自由度对应有两个激励，对于线性系统，这两个激励引起的响应是可以叠加的；对于每一个确定的激励，都可以化成一系列简单激励的求和或者积分的形式；简单激励引起的响应是容易求得的。最终，可以求得任意激励形式下二自由度系统的受迫振动响应。

在受迫振动中有一种特殊的情况：其中仅有一个自由度受到简谐激励，另一个自由度没有激励。这类似于在原有的单自由度受迫振动系统上再连接一个质量块，构成的一个二自由度系统。由于附加质量块的影响，会改变原本系统的响应，甚至可以完全吸收激振力的能量，使得原本系统的响应为零，这就是吸振器的原理。

由于两个物理坐标是相互关联的，原始的微分方程组通常是耦合的。选取不同的物理坐标，会得到不同的耦合关系，但都需要联立方程才能求解。对物理坐标进行线性变换可以得到一组主坐标，是非耦合的，可以独立求解。主坐标可以没有实际的物理意义，只是对物理坐标的一种表示。解得主坐标后再变换回物理坐标，就能得到系统的物理响应。这种思路在多自由度系统中用处较大。

如果激励与运动参数有关，可能导致系统的不稳定。系统的稳定性要求特征值的实部为负值，对应的特征方程的系数需要满足一定的条件。从而，由特征方程就能判断系统的稳定性。


待续

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小弹壳

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