【笔记】机械振动_多自由度系统振动

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多自由度系统可以作为连续系统的一种近似，用离散化的参数代替分布参数。当自由度过多时，依然可以分别对每一个自由度进行受力运动分析，最终得到一个微分方程组。另一个思路是从矩阵乘法的物理含义出发，直接得到参数矩阵中的各个元素（影响系数）。

以刚度影响系数为例：刚度矩阵乘以位移向量得到弹性力向量；矩阵的一行乘以位移向量得到力向量中对应的某一个元素；矩阵的某一个元素与位移向量中对应元素的乘积等于力向量中对应元素的一部分；如果知道了位移向量的某一个元素值，也知道了在这个位移状态下力向量中某个元素需要满足的值，就能得到对应的一个刚度影响系数；假定一个位移状态，其中只有一个自由度有单位位移，其他自由度没有位移，为了满足这种假想的位移状态，需要在各个自由度上施加一组力（这组力是容易得到的），这组力的大小就对应着一组刚度影响系数。

用同样的思路可以得到其他类型的影响系数，从而得到系统的参数矩阵。有了参数矩阵，就能分析系统的自由振动以了解其固有属性。

多维微分方程组有多个特征值和特征向量，对应系统的固有频率和主振型。一般的，各固有频率的值是不同的，利用质量矩阵与刚度矩阵的对称性，可以证明主振型关于质量矩阵和刚度矩阵满足正交性。

由于正交性，主振型之间是线性独立的，于是所有的主振型向量就构成了多维空间的一个基。由此，就能把空间中任一个确定的向量表示成主振型的线性组合的形式，相应的权系数是常数。空间中任一个确定的向量函数也能表示成主振型的线性组合的形式，相应的权系数是函数。这种思路就是振型叠加原理。

多自由度系统的受迫振动响应是一个向量函数，向量中每一个分量就是一个自由度的响应。由于系统运动存在耦合关系，多个方程联立求解的难度较大，可以利用振型叠加的原理，把物理坐标变换成一组新的坐标，变换关系就是振型矩阵，新的一组坐标就是相应的权系数。由于振型关于质量矩阵和刚度矩阵是正交的，对于无阻尼系统，这一组新的坐标使得微分方程是解耦的，就成了系统的主坐标。对于解耦后的控制微分方程，可以用单自由度的方法分别求的每一个主坐标的解，最后再变换回原来的物理坐标，就能得到系统的实际解。

当有阻尼存在时，如果阻尼矩阵能表示成质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，就能将阻尼矩阵拆解，利用振型叠加的原理将微分方程解耦。如果阻尼具有一般形式，可以将二阶微分方程组变换成更高维度的一阶微分方程组，得到一个矩阵微分方程的形式，也可以求解。


待续

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