【笔记】机械振动_固有频率与振型的近似计算

liman?

系统自由度数比较多时，特征方程的求解会比较繁琐，需要用到数值方法近似计算。不同的近似计算方法有不同的适用条件和特点。

邓克莱法：
将特征方程展开，得到一个关于频率的多项式方程，根据多项式系数与固有频率的关系，忽略高阶固有频率近似得到基频。适用条件：相对于基频，高阶频率都很大。

瑞利法：
由特征方程得到固有频率与振型的关系，如果假设的一个振幅向量与某一阶振型很接近，带入之后得到的频率也与对应的固有频率近似。由于高阶振型没有合理的近似值，一般会假设第一阶振型来求基频的近似值。可取系统的静态变形，即各自由度在与其惯性等比例的力作用下时系统的变形，作为第一阶振型的近似。

瑞利法有两种表达式，都是从特征方程得来的，有趣的是这两种表达式的精度是不一样的：当假设振型存在同样大小的误差时，由两种表达式得到的固有频率近似值的相对误差却不一样。

霍尔兹法：
由特征方程可知，振型的各个分量之间是依次联系的，且与固有频率有关。由于振型关注的是各分量的比例关系，当以某一个分量为基准时，就能得到各分量之间的迭代关系，且与固有频率有关。假设一个频率值，由迭代关系可以得到振型的各个分量的值，如果假设的频率正好是固有频率，得到的就是对应的振型。为了判断假设值是否合理，需要一个约束条件。对于非约束系统，自由振动时的约束条件是各自由度受到的合力为零；对于有固定端的系统，可将固定端看作一个额外的自由度，其约束条件是固定端的振幅为零。取一系列频率值，进行迭代计算，判断是否满足约束条件，最终能得到一系列固有频率和振型的近似值。

矩阵迭代法：
由特征方程可知，动力矩阵乘以振型得到的向量是该振型的倍数关系，放大系数与该阶固有频率有关，当固有频率较低时放大系数较大。任取一个向量，其包含各阶振型成分，动力矩阵的作用可以放大向量中低阶振型的成分，多次迭代计算，可以得到第一阶固有振型的近似，同时能得到基频。

为求高阶振型，可在迭代计算后去除结果中的低阶振型成分，得到一个新的动力矩阵。这样在每次计算后，结果中都不含低阶成分，从而能得到高阶振型和固有频率的近似值。

李兹法：
取一组向量作为一个基，对原始坐标降维处理，得到一组新的低维度的坐标。将新坐标代入原始特征方程中求解，由于维度不同，需要对特征方程进行变换。解出新坐标后再变换回原始坐标，可以一次性得到多个固有频率和振型的近似值。由于过程中改变了特征方程，只能得到近似解。

子空间迭代法：
李兹法能同时处理多个振型，矩阵迭代法能放大低阶振型成分，两者结合可以有更快的收敛速度。取一组线性无关的向量，用动力矩阵放大每一个向量中的低阶振型成分，之后将其作为振型空间的一个基；在该组基的度量下，对系统坐标降维处理，得到一组新的坐标，求解后代回系统坐标，得到一组振型的近似解；用动力矩阵放大近似解中的低阶振型成分，再将其作为一个新的基；再次对系统坐标降维处理求近似解。多次迭代的结果将很快收敛于系统的前几阶振型。

雅可比法：
在对对称矩阵对角化的过程中可以直接得到该矩阵的所有特征值和特征向量。


待续

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打铁的

能详细展开说下吗

kobyhuazai

各位，首先要知道，2自由度的直接求解 特征值就好了

山东土狗

上次我想算包装条件下的敏感器件振动下的受力没整明白  这块太弱 期待大虾分享案例