数学问题求助 之三

米饭

再开个小小的玩笑，假如我现在创造一种新数，称其为‘米饭数’。设有一个米饭数a，现在a+2＝2，问a的结果。

答，有无数个结果：a1，a2，……aN，……。但是无人能说我的说法错误，因为‘米饭数’是一种特殊的数

旧时光

米饭 发表于 2018-3-8 07:47
再开个小小的玩笑，假如我现在创造一种新数，称其为‘米饭数’。设有一个米饭数a，现在a+2＝2，问a的结果。 ...

如果定义这种“米饭数”，就有以下两种情况：

1. 如果规定这种数属于有理数，那么它就必须符合有理数的定义、性质、运算法则。在有理数域内，可以证明“与2之和等于2的数就是0，且0是唯一的”。那么你所谓的“米饭数”a就是0。

2. 如果规定这种数不属于有理数，是一种新型的数。从逻辑上讲，你就必须先定义“+”和“=”，因为对于这种新型的数，“a+2”表示什么，“=”又是什么意思，完全不知道。之后，才有数的定义：“与2之和等于2的数”（当然，这句话需要你规定“+”还表示“和”，“=”读作“等于”，“a”还能称之为“数”的话）。但是，光有这个定义是毫无意义的。如果你再规定其它关于这种数的公理，定义其运算，证明它的其它性质，而且这些性质在逻辑上时不会引起矛盾，就完美了。如果你还能找到这种数在自然科学中的应用，能解决或简化一些重大理论问题，那就可以留名青史了……

欢迎继续讨论。

旧时光

米饭 发表于 2018-3-8 06:59
我对数学历史没有进行过探究，所以下面的说法算是我自己对书本的理解和引用。如有错漏之处还望指出。

首 ...

首先，按书中的话，应该是先有运算法则的。（有句话是有问题的，后面讲。）比如最开始只有自然数，但是由于其对减法运算法则不封闭，所以人们才引入负数，将数系扩充到整数。也就是说，运算法则是‘环境’，而数系是在其内部的。（不太理解这句话）但是按大侠的说法，是将数置于运算法则之上，（是的，先有数才能谈运算法则的问题）好像每一种数应该有它特有的运算法则，（非也。数系扩充的原则之一是原有的运算法则在新数中仍然适用。扩充数系时，应当先定义数，然后定义运算，再证明原有的运算法则在新数中也适用。并不是说“特有”的运算法则。）例如2-4是不能等于-2的，因为负数还未定义，它的运算法则也没确定。（是的。）

接着，如果按照我的理解，按书中说的，有理数对于加减乘除四则运算法则是封闭的，但是对于开方运算不封闭。这里先看开方的运算，比如x∧2＝4，变换为√4＝2，这里√4可以看成是一个数，也可以说是一个运算过程，相当于4÷2。那么我们现在把上面的√2看成是一个运算过程，不要当成是一个数，（是这样的。）下面解答下楼主的疑问。

书中的定理证明中，a∧2＝2，还给出了a＞0的条件，那根据开方的运算法则，√2是有±a两个解，根据题目要求＞0，所以必然只有一个解，也就是r1必然＝r2。（不同意，无理数的开方尚未定义。）按我对书上的理解，开方这种运算法则先面世，（是的，但扩充到实数之前，开方只对有理数有意义）尔后，发现对于有理数2进行开方√2，得出的数并不是有理数，（准确的说，是在“数”中找不到这种数，即到目前为止，完全不存在这种平方等于2的数。）所以把√2运算后得出的这样的数称之为无理数，（问题就在这里，既然这种数是新型的数，为什么只有一个√2？能证明吗？另外注意，“√2运算”还没定义。）为了表达方便，将√2这本来的运算过程当做最终结果表达。

但是如果按照楼主的理解，有理数的开方运算与‘新数’的开方运算是不同的，也就是他们有各自的开方定义，（并不是不同，而是需要定义开方运算，再证明它与有理数的开方运算法则一致。）这个我不认同。我的理解是开方定义置于有理数与‘新数’之上。（这样理解不对吧？）而且无理数其实是真实存在的数，并不是人为杜撰的，也就是说，人们把2的开方得到的这种数，√2，称之为无理数。而不是说先创造一个数叫无理数，然后把√2塞进去。

米饭

旧时光 发表于 2018-3-8 09:04
首先，按书中的话，应该是先有运算法则的。（有句话是有问题的，后面讲。）比如最开始只有自然数，但是由 ...

emmm……大侠如此想追本溯源的话，我觉得可以去看欧几里得的《几何原本》。我本人的话，对于戴德金切割定理那段我能理解，也不觉得有任何的矛盾之处，并且这对我以后的学习不会造成影响，所以我到这就够了，不会再往基层去钻，因为那对我以后的学习帮助不大。大侠你的疑问都必须回到最基本的数和运算的定义去了。我并不认同你上面的说法，但我也没法反驳。历史上由无理数引发的数学危机持续不知几百年，或许就是这样的。在下不才，的确无法回答你的问题。或许大侠可以去问问大学教授，他们对于这种概念的钻研更深。

米饭

旧时光 发表于 2018-3-8 08:32
如果定义这种“米饭数”，就有以下两种情况：

1. 如果规定这种数属于有理数，那么它就必须符合有理数的 ...

如果有人向我提出这样的问题，我绝不会与他过多纠缠。a+2＝2，那么a就必=0，也必有a1=a2=……aN＝……。因为这种探讨是完全没营养的。是与探讨永动机存不存在一样逗乐的。所以我这是开玩笑的，大侠完全不必认真解答。这个其实是对我上面回答思路上的补充

旧时光

米饭 发表于 2018-3-8 09:41
emmm……大侠如此想追本溯源的话，我觉得可以去看欧几里得的《几何原本》。我本人的话，对于戴德金切割定 ...

1. 其实从实用的角度来讲，用不着这么追根溯源，只要能应用微积分来解决工程实际的问题就行。所以这个问题仅仅作为一个理论问题来讨论。

2. 这些问题也不是什么高深的数学问题，只是数系扩充的原则问题。

3. 说实话，我认为你对数系扩充的理解是有不对的。数系扩充的目的之一是：当原数系中的某些运算不能完全适用时，就需要扩充到新的数系。你的理解是：扩充后的数系当然就对这种运算适用了。但是，目的是目的，过程是过程。正确的过程是：从原数系中定义出新数，定义新数的序，定义新数的运算，再证明新数的性质，证明这些性质跟原数系一致。

当然，以上仅仅是我的看法，不一定对。

最后还是要谢谢你的解答。

米饭

旧时光 发表于 2018-3-8 10:54
1. 其实从实用的角度来讲，用不着这么追根溯源，只要能应用微积分来解决工程实际的问题就行。所以这个问 ...

之前自己的说法可以说错漏百出，正在研究相关知识，希望两个月后能重新对这个问题给出严格的解答。