数学问题求助

旧时光

今天被高阶无穷小的记号整懵逼了:

如当x→0时，x^3是比x高阶的无穷小，记为x^3 = o(x);
x^2是比x高阶的无穷小，记为x^2 = o(x);
那么根据这两个等式，就有x^3 =  x^2。
这显然是不对的，但又不知道问题出在哪里。

哪位大侠能帮忙指点一下，万分感谢。

金色的糍粑

1、什么是无穷小？什么是无穷小的比较，这个概念要清晰；
2、记x^3 = o(x)也好还是记x^2 = o(x)，都只是一个表示，用o(x)表示x^3，是为简化表示（因为实际工作中x的无穷小并不会像x^3或者x^2这么简单，可能有一大串东西） ，别人看到这个标识符就会明白这是相对x的无穷小 ；
3、讨论问题一定要在相同的框架下才有意义，就像你这样   记x^3 = o(x)   又 记x^2 = o(x) 这样做的目的是什么？如果是在讨论他们的关系的话x^3和x^2就不能用同一个符号表示，因为他们明显是不同的东西，如果在不同的维度，那么两者就没什么可比性，自然就没有意义

yinalan

无穷小是函数是个变量不是数怎么可以划等号呢

解无忧

这根本就不是一个确切的数值，即使能近似相等，那也是等价无穷小，况且两者根本就不同阶。不知道你为什么会有这样的逻辑。建议好好读一下陈纪修老师的数学分析

th3333

额下降速度不一样

旧时光

金色的糍粑 发表于 2018-10-30 23:10
1、什么是无穷小？什么是无穷小的比较，这个概念要清晰；
2、记x^3 = o(x)也好还是记x^2 = o(x)，都只是一 ...

感谢回复。
其实我明白该等式要表达的意思，好比说甲是丙的上级，乙也是丙的上级，但甲与乙之间的关系不能确定的。
但是，我觉得高阶无穷小用等号连接是一种很奇怪的表示方法，很容易引起混乱，对这个等号我一直不能理解。

胸大当饭吃

这个看看高数书就好了，不等价的

huiyu788

关键是那个0，它不是一个固定数，他只代表无穷小，所以X^3等式右边的0和X^2不是同一个固定数，楼主把无穷小等同于固定数了

760236978

趋于无穷小的速度不同，=号，在这里不是 表示 等于。

旧时光

760236978 发表于 2018-11-1 01:17
趋于无穷小的速度不同，=号，在这里不是 表示 等于。

1，“=”不是表示“等于”，那为什么要用“=”表示?不表示“等于”，那它表示什么?难道要赋予“=”新的含义?定义新的规律?这样不会引起混乱吗?
2，例如β=α+o(α)之类的式子，也可写为β-α=o(α)，这明显是把“=”做为等号来用的。再如泰勒公式中也有o(α)，难道泰勒公式不是等式?
3，有些教材把o(α)解释为集合，把“=”解释为“属于∈”，也是说不通的，理由除了上面第2条之外，还有:α+o(α)难道表示一个函数与函数集合的运算?为什么不直接用“∈”而要用等号?4，我自己的理解，是把o(α)理解为函数集合中的一个元素，“=”表示“赋值”，感觉比第3条中的说法更好一些，但也不是尽善尽美。