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碰到一个关于正弦很初等又很有趣的性质

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发表于 2019-1-23 14:46:40 | 显示全部楼层 |阅读模式
sin(π/2)=1=2/2^1
sin(π/3)sin(2π/3)=(√3/2)(√3/2)=3/2^2
sin(π/4)sin(2π/4)sin(3π/4)=(√2/2)(1)(√2/2)=2/4=4/8=4/2^3
sin(π/5)sin(2π/5)sin(3π/5)sin(4π/5)=5/16=5/2^4(根据wolframalpha计算结果)
推测:∏[k=1→k=n-1] sin(kπ/n)=n/2^(n-1),其中n≥2为自然数
觉得应该是正确的,但是没想到证明
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论坛元老

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发表于 2019-1-23 16:48:32 | 显示全部楼层
上面看不懂,看这个方法吧

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换句话说在z→1时,kf-g=0, 而k=lim(z-1)/(z-1)=1  发表于 2019-1-23 22:17
蒙一把。。令f=z^(n-1)+..+1; g=π(z-ξk); z→1时 f-g →0  发表于 2019-1-23 22:12
抱歉,我觉得里面藏着一个很大的逻辑问题。只有z≠1即z-1≠0时,等号两边才能同时除以z-1;但是,后面又令z=1。这就矛盾了  发表于 2019-1-23 21:02
用恒等号是不是逻辑更清晰点  发表于 2019-1-23 20:36

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发表于 2019-1-23 15:00:12 | 显示全部楼层
本帖最后由 yinalan 于 2019-1-23 16:13 编辑

是对的,

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最下面那个公式,那个公式就是算是已知的吧,令x=1,然后继续,,  发表于 2019-1-23 16:45
n=(1-ω)…那一步我也不懂  发表于 2019-1-23 16:39
谢谢,我慢慢看,看不懂再问你哈  发表于 2019-1-23 16:23
第二个公式,令x=1.可以找到其他的证明方法  发表于 2019-1-23 16:15
能详细讲一下过程么?N=(1-w)...(1-w^(n-1))这一步是怎么来的?  发表于 2019-1-23 16:04
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发表于 2019-1-24 10:29:28 | 显示全部楼层
某些特殊形式的三角问题在复平面非常直观,想想为什么搞拉屎变换贼变换,还不是一堆三角函数太麻烦。
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