钱伟长 变分法与有限元中的疑问

愤愤熊

小弟不才 ，这个为什么是负号，花生大侠能解释下吗，实在查不到了！

疯子在雨中咆哮

向量曲面积分，有方向性，要么从里朝外，要么从外向里，这个式子里可能隐含了这个动作 "Tn+=-Tn-"， ‘T’ 是指边界， ‘n’ 是法相向量，‘n’ 右侧的负号指方向，右式左侧的负号对应着你式子里冒出的负号。若文中提边界的封闭性是为引出曲面光滑连续，这个负号是可以这么加的。

接下就讨论一下为什么要翻过来。在有限元里，通常当你推出边界积分的时候，这个边界上流量的流向是由内指向外，这个流量是个广义的流量，在固体上是指力，在传热中是指热量，在流体里就是指流量。

然而，在有限元中，边界积分的作用通常是为了引入自然边界条件，而这个自然边界条件，就是上句提到的流量，是一个外界施加在计算区域上的载荷，这个流量就是由外指向内的。

为了保持这个边界积分与流量在全局坐标方向上的一致性，需要在式子上反转一下。也就是说如果你不在式子上反转，你在加边界条件的时候，要在流量上加个负号，把推力变成拉力，把进水变出水，才能得到正确的结果，但这样方向的物理意义就给破坏了。

我不能保证这个解释对应着你给出的式子，但是在有限元中，在有限元里中的边界积分，在边界积分时冒出来一个莫名奇妙的负号，如果没其它的解释，就先这样理解吧，如果不在这里，前后也会遇上。