怎么也绕不开的方程

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[M]y''+[C]y'+[K]y=[U]sin(θt)(或f(t))
这个方程看起来很简单，一个二阶常系数非齐次微分方程，看结构动力学有它、有限元模态分析有它、振动分析有它，他们是不是通的，估计还有很多地方有它，请各位大侠把其它用到的地方列出来。
刚开始没把它当回事，后面遇到它越来越多，必须把他吃透才行。
[M]一般表示系统的质量矩阵，[C]一般表示粘滞阻力矩阵，[K]一般表示系统刚度矩阵，f(t)表示激振力。
1、如果不考虑阻力项和激振力，就是系统的自由振动或者模态分析或者瞬态响应，
2、考虑阻力项不考虑激振力，就是有阻力的自由振动，例如一个橡胶球落地后(忽略碰撞的能力损失)，不断上下运动并最终停止，因为有空气阻力。3、不考虑阻力项考虑激振力就是无阻力受迫振动
4、考虑阻力考虑激振力就是有阻力的受迫振动
可以得知系统的固有频率ωn（单自由度1个，n自由度有n个）
其中两个重要参数阻尼比ξ=c/(2ωn*m)，和频比 θ/ωn，他们决定系统的动态响应
请花生大侠从数学的角度再深刻的解释一下这个方程
@crazypeanut

crazypeanut

定义：设L为定义在闭区间[-π，π]上的所有连续函数全体，易知在其中任意函数的线性组合依然属于L，因此L构成一个线性空间，我们在L上定义内积为


易知其满足内积公理，因此L构成一个欧几里得空间。

定理1：L作为欧几里得空间是无限维的 （这个其实和我要讲的东西没什么关系，但是牵扯到了就提一下）
下面是关键：
定理2：函数系，1，sinx，cosx，sin2x，cos2x，......，sinkx，coskx，...... 构成L的一组标准正交基

什么意思呢？ 学过线性代数的人都知道，一个线性空间配备了内积，即成为一个欧几里得空间，这个空间中的任何元素，都可以用标准正交基的线性组合表示出来；L是定义在闭区间[-π，π]上的所有连续函数全体，于是任何连续函数，都可以用1，sinx，cosx，sin2x，cos2x，......，sinkx，coskx，..... 的线性组合来表示；其形式为三角级数，正式名称叫做傅里叶级数。


其实相对于绿皮高数，我是倒过来讲的，先讲标准正交基，再讲傅里叶级数，这样可以清楚的知道傅里叶级数是怎么回事，避免盲目性。


至于如何展开成傅里叶级数，可以查书看如何计算傅里叶系数，亦可查表。

crazypeanut

那么，为什么要把方程右边的f(x)展开成傅里叶级数？ 关键是下面的定理：

设一个线性微分方程

其一个特解为f1(x)
另一个线性微分方程

其一个特解为g1(x)
那么f1(x)+g1(x)是微分方程

的解，其实质为线性叠加原理

crazypeanut

于是，我们可以把ay"+by'+cy=f(x)右边的f(x)展开成三角级数，对于形式为

方程的特解具有形式

可用待定系数法求得特解

并且，这个方法的好处是，我们可以选择将f(x)展开成一次项或者一定次数的项，从而来观察基波和高次谐波对系统的影响，或者可以通过展开成有限的项来求得近似解，因为特别高次的谐波对系统影响微弱，我们可以忽略掉他，在大大简化计算的情况下，获得一定精确度的解。


我要讲的东西就是这些了，要是再深入，就是纯理论的东西了，再讲的意义不大了。

黑熊怪

这个没什么啊，就是基本的公式，书上都有的。力学、电磁学和热力学确实好多东西都是相通的。最常用的就是弹簧质量阻尼系统，电路是RLC回路，用牛顿第二定律和基尔霍夫定律列个方程就出来了。花生大侠已经给出数学解了，自己去翻翻高数课本，里面都有详细解答。

crazypeanut

若方程右边的f(x)不是太复杂的话，可以采用常数变异法

我们假设通解为

把其任意常数，c1，c2，改成变数

代入到原来的非齐次方程，两边比较系数，可完全确定c1(x)，c2(x)的形式，从而得到特解。
对于其他形式的通解，方法类似。

crazypeanut

对于方程右边的f(x)，有特定的形式，比如三角函数等，通过查表可以得到特解的具体形式，再代入原方程求得待定系数，即得特解，具体不再叙述。

上面的内容是照顾对线性微分方程不太懂的人，算是一个科普，下面是关键点了。

很多时候，方程右边的f(x)，比较复杂，用常数变异法计算及其繁琐甚至不可行，而其形式又不在特解的表里面，这个时候要如何处理呢？

首先讲点理论的东西，对于一个实际的线性系统，F(y''，y'，y)=f(x)，右边的f(x），实际上相当于我们对系统的外界输入，一般来说，f(x)都是具有周期的连续函数；若其连续而不是周期函数，那么对于实际问题，我们的输入总是会在有限的时间内结束，于是可以通过解析延拓的方式，将其化为周期函数。

浦原喜助

哈哈，大侠，就我所知的振动和控制方面这个方程都出现过，控制工程里面是根据极点的发散还是收敛来判断系统的稳态，简单来说如果极点的实部在jw轴左边，系统收敛；极点的实部在jw轴右边，系统发散；刚刚在jw轴上，系统震荡（类似sin函数，震荡但不发散）。

而振动里面通过phase plane画流线图，解特征值lambda1和lambda2，根据特征值的正负来判断系统的状态：
1. 如果两者都是实数，且符号相等，则是一个node，系统没有震荡， 且：
                               1. 都是正号，这个node是收敛的
                               2. 都是负号，则这个node是发散的

2. 如果两者相等，则是一个star，是收敛的。

3. 如果两者都是实数，但符号不同，则是一个saddle，没有震荡，是发散的。并且，其中正号的lambda值所对应的直线是流入saddle点的，而负号的值所对应的直线是流出saddle点的。

4. 如果两者都是复数，则为focus，且：
                          1. 如果两者的实数部分是负的，则focus是收敛的，且震荡逐渐减小
                          2. 如果两者的实数部分是正的，则focus是发散的，且震荡逐渐增大

另外，质量矩阵，阻尼矩阵，弹力矩阵中，如果不是只有对角线上有数字，则系统存在耦合，即不同对象各自之间互相有影响，需要先做归一化。

engine

偏偏有时候还想求解析解，研究规律以求优化，各种简化，然后无疾而终

crazypeanut

晚上我来说，这个方程可以求得解析解

crazypeanut

这个方程，是二阶常系数线性方程，由于其各项系数都是矩阵，所以我们为了研究方便，抽出其中一元素，使方程形式为：
ay"+by'+cy=f(x)，这里a，b，c，都是实数，这是可以做到的，因为把矩阵都完全乘开来，总能取得分量

为了求解方程，先看对应的齐次方程ay"+by'+cy=0，对应的特征方程为

这是一元二次方程，很好解
1. 若其两个根为λ1和λ2，则齐次方程的通解为

2. 若其根为重根，即只有一个跟λ，则齐次方程通解为

3. 若其根为一对复根α+βi，α-βi，，则齐次方程通解为




对于非齐次方程，ay"+by'+cy=f(x)，其通解为齐次方程的通解加上一个特解y*，于是问题的关键就在于如何求这个特解y*