【笔记】机械振动_单自由度系统振动

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单自由度的振动系统，用一个坐标就能完整地描述系统的运动状态，可以描述平动，也可以描述转动。一个质量块由一个弹簧和一个阻尼器与基础连接在一起，所要做的是描述这个质量块的振动特性。

对质量块进行受力和运动分析，可以得到一个微分方程，即控制方程。无论质量块的具体运动形式是什么样的，都应该满足控制方程的要求。当系统参数与运动无关，外界激励也与运动无关，且运动形式可以线性化时，对应的方程就是线性的，这是一种比较简单的模型。

当没有外界激励，也即自由振动时，对应着一个齐次方程，具体的讲是一个二阶常系数线性齐次常微分方程。对自由振动的求解能得到系统的固有属性，如固有频率、临界阻尼系数、阻尼比的概念，这些参数只与系统参数有关，与激励无关，同时决定了在具体的激励作用下，系统的响应是什么样的。

得到自由振动的通解之后，由初始条件（初始位移、初始速度）可以确定唯一解。欠阻尼的情况下，由于没有外界能量输入，同时系统阻尼会消耗能量，解的形式是一个振幅逐渐衰减的简谐振动，具体的衰减形式与粘性阻尼比有着对应的关系

通常外界激励是存在的，其中最简单的激励形式是简谐激励，之所以这种激励简单，是因为对应的响应比较容易求解。有了外界激励，就有了外界能量输入，可以抵消系统的阻尼损耗，系统就有了持续振动的可能性，也即振动响应存在稳定解。稳定解的形式与激励形式类似，是一个振幅稳定的简谐振动。与激励信号相比，响应信号的幅值有一个放大系数，相位存在滞后。幅值放大系数与激励频率有关，在系统的固有频率附近存在峰值，此时阻尼的大小能明显改变响应峰值。相位滞后也与激励频率、系统阻尼有关，在信号进行叠加时相位滞后是需要考虑的。

激励有两个基本的来源：力的传递、位移的传递。例如转子转动时，由于不平衡量的存在，会有一个方向连续变化的惯性力，对系统形成简谐的激振力，会引起位移或力的响应。利用不平衡量与振动响应之间的特定关系，可以平衡转子。另外，振动系统固定在基础上，如果基础本身发生了振动，便会以位移的形式将振动传递到系统上；另一方面系统的振动也会通过弹簧和阻尼的作用使得基础承受一定的力。这种位移响应以及力的响应特点可以用来进行隔振设计。

得到响应的具体形式后，可以计算因为阻尼的存在而消耗的能量。对于粘性阻尼，在简谐运动下消耗的能量与阻尼系数、振动频率及振幅都有关系。粘性阻尼是一种简单的阻尼模型，对应的运动控制微分方程是线性的，容易求解。对于其他的阻尼形式，如描述表面干摩擦的库仑阻尼模型、描述材料内部相对滑动的滞后阻尼模型、以及别的更复杂的阻尼形式，可以从能量消耗的角度将其近似为粘性阻尼，以便于求解。

当激励形式变得复杂一些，比如一般的周期性激励，依然可以利用简谐激励的结果求得响应。依据是一个确定的周期函数，可以写成傅里叶级数形式，也就是一系列简谐函数的和的形式。由于线性系统满足线性叠加原理，周期激励的响应就是一系列简谐响应的叠加。又由于高次谐波的响应峰值比较小，通常可以取前几项谐波作为结果的近似。此时各简谐响应的相位滞后就需要考虑了。

对于一般的激励形式，有两种思路进行求解：频率响应与脉冲响应。

频率响应的依据是，一个确定的非周期函数，可以看作一个周期为无穷的周期函数，从而将傅里叶级数类比为傅里叶积分的形式。物理含义是：这个确定的非周期函数具有无限频率带宽上的连续频率成分，对应的，周期函数具有离散频率成分。对于具有某一个确定频率成分的激励，其响应是容易求的。而连续频率成分的激励，其响应就是把简单的频率响应进行积分，最终能得到一般激励下的响应。

脉冲响应的思路是把确定的函数进行切片，看作一系列具有不同幅值的脉冲的累加。单个脉冲激励对系统的影响相当于给了系统一个初始速度，其响应就是对应的具有初始速度的自由振动的响应，是容易得到的。不同时刻的脉冲激励均会对后续时刻造成响应，某一时刻总的响应就是在该时刻之前所有脉冲激励引起的响应在该时刻的累加，累加的极限就是积分，得到的就是卷积的形式。

利用脉冲响应的方法可以求的一些简单函数激励下的响应，如矩形脉冲函数、阶跃函数、一次函数的激励。当激励函数形式变得复杂，卷积的计算会变得很繁琐，可以借助于数值计算的方法。计算思路是把复杂函数切片，可以切成阶跃函数的累加，或者切成矩形脉冲的累加，更精确的可以进行线性切片，即把每一片看作矩形脉冲与一次函数的和。不同的模型有不同的精度，精度高的模型对应的单独一片的响应计算会更复杂，但是在同样的精度下它可以有更少的迭代计算步骤。

一般情况下，系统的参数以及外界的激励函数与系统的运动无关，对应的系统响应通常是稳定的。系统的稳定性可以从特征根的角度理解：如果特征根具有正的实部，对应的特征解是发散的，系统的能量也是发散的，系统就是不稳定的。为了满足系统的稳定性，需要等效的质量、阻尼、刚度是正值。当激振力与运动参数有关时，就可能使得等效的系统参数变成负值。例如，当滑动摩擦系数与速度有关时，如果这种摩擦力作为激振力，就可能使得等效的阻尼系数变成负值，从而引起爬行现象。


待续

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简而言之是二阶常系数非齐次微分方程，包含质量，阻尼，刚度和方程右边激振力。解这个方程即可，其中最重要参数是阻尼比。对于激励力处理，使用傅里叶变换或杜哈梅积分（卷积积分，实质是脉冲采样）。

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对于这个常微分方程的解来说，花生大侠解释过，我也仔细研究过。非齐次常微分的通解等于齐次的通解+非齐次特解。
这个方程的特征方程ax^2+bx+c=0 ，如果这个二次方程有正实数解，说明系统是发散的不稳定的，
如果方程有负实数解，说明系统收敛的，是稳定的。如果存在虚数解，说明衰减是震荡的。不然就是持续衰减。