【笔记】机械振动_非线性振动

liman?

线性系统模型是一种近似模型，是为了处理问题的简便而引入的。非线性模型会更贴合实际，以弹簧弹性为例：仅当弹性力与相对位移成正比例关系时，弹簧才是线性的；对于其他的任何一种关系，弹簧都是非线性的。可以看出非线性系统的普遍性。

线性与非线性之间并不仅仅是近似精度的差异，更重要的，非线性系统中的一些现象，通过线性理论根本无法做出预测。两者截然不同。

振动系统中有多种因素可以引起非线性项：单摆微幅振荡时可以进行一阶近似得到线性运动模型，振荡幅度增大时至少需要二阶近似，相应的运动模型就是非线性的；弹簧的弹性与材料性质有关，小变形时弹性可以线性化，变形幅度增大都会趋向于非线性；摩擦的类型是多样的，无法仅用线性模型来描述；对于变质量系统，等效质量与运动参数有关，也会引起非线性项。

少数简单的非线性振动问题可以求得精确解，比如具有一般恢复力的无阻尼自由振动，利用运动参数之间的微积分关系，借助于数值积分，可以得到任意精度的数值解。

大多数非线性振动无法得到精确解，可以利用近似的方法求解。

非线性控制微分方程中具有非线性项，如果非线性项的系数（小参数）变成零，就得到线性控制方程，可以用这个小参数来定义方程的解。近似解可以看作两部分：线性部分和非线性部分。其中非线性部分的系数取为小参数，这样当小参数变成零时，解就变成了线性方程的解。

将近似解带入控制方程中，可以分别得到关于线性项的控制方程，以及线性项作为激励的关于非线性项的控制方程。在求得线性项后，将其作为激励函数，进而求得非线性项。

在求非线性项时需要把线性项作为激励，这样就存在共振的可能，使得近似解中具有发散项。物理系统通常不是发散的，发散项意味着得到的近似解在长远来看是错误的。产生发散项的原因在于近似解改变了真实解的收敛性。真实的解可以看作无穷级数的形式，而假设解只取了级数的有限项，这样就可能改变解的收敛性。

为了避免发散项，需要人为消除共振成分，就需要一个额外的约束条件。可以将响应的频率也看作两部分：线性部分与非线性部分。其中非线性部分的系数是小参数。这样求得的近似解中可以没有发散项，但解总是周期性的，不一定符合真实情况。

另一种方法可以将响应结果看作多个假设函数的叠加，权系数是未知数。通过改变权系数的值，可以改变假设解逼近真实解的程度。利用多元函数求极值的思路，确定合适的权系数，可以得到近似解。

线性系统的受迫响应随着激励频率的不同，具有不同的且唯一的值，频响曲线有一个峰。在非线性系统中，频响曲线的峰是歪着的，意味着在某些激励频率下，对应着两个响应值，系统在该激励频率下是不稳定的，振幅会产生跳跃现象。

线性系统的响应频率与激励频率相同。但在非线性系统中，响应频率可能是激励频率的整倍数或整分数，即形成超谐振动和亚谐振动。

利用相平面的图解法可以对非线性系统作定性分析。可以取位移和速度构成的平面作为相平面，平面上任一点代表了一个运动状态，一个连续的轨迹代表一个运动过程。比如简谐振动的轨线是一个椭圆，带有阻尼的自由振动响应的轨线是一个向内的螺旋线。非线性运动的轨线可能很不规则。

相对于位移而言，速度和加速度都可以预测未来的状态。当速度和加速度都为零时，物体静止，但这种静止的状态是否稳定，就需要特别分析。这种状态对应着相平面上的特殊点，称为奇点。

分析奇点的稳定性，可以将奇点邻域内的相平面所代表的运动状态进行线性化，利用线性理论得到其稳定性的结论。

根据稳定性的不同，可将奇点分类：稳定或不稳定的结点、稳定或不稳定的焦点、不稳定的鞍点、稳定的中心。代表了轨线在奇点附近不同的表现形式，并影响轨线在整个相平面上的宏观表现。

奇点是相平面上一种特殊的几何元素，另一种特殊的几何元素是一个封闭曲线，称为极限环。相平面上所有的轨线随着时间推移都会逼近极限环，代表了一种周期运动的形式。

相平面上任意一点都代表了一个运动状态，可以看作系统的初始条件。对应这一点，总有一条轨线经过它，意味着一个初始条件对应着一个运动过程。取另外一个点，则对应着另一条轨线。这种轨线的分布形式由系统参数决定。

取两个邻近的点作为两个初始条件，如果系统的非线性不明显，对应的两条轨线的走向应该大致相同。改变系统的参数，也就改变了相平面上的轨线分布状态。相应的，这两条轨线的走向可能有较大的差异，甚至完全不同。当取得某种系统参数时，可能会造成一种奇怪的现象：无论两个初始点取的有多么接近，其对应的轨线都是完全不同的。即：初始条件的任意微小的差异，都会造成响应过程的完全不确定性。这就是混沌现象。原因就是方程中的非线性项极度的放大了初始条件的偏差。


待续

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打铁的

非线性真的能列式计算吗，楼主

kobyhuazai

为啥   在求非线性项时需要把线性项作为激励，这样就存在共振的可能，使得近似解中具有发散项 呢？

机械师67号

请问大侠看的是哪本书？