机构学之螺旋理论学习笔记一

magicnie

      读Alexander H. Slocum的《Fundamental of design》书籍，对我震撼非常大；追踪里面的学习内容，找到了一些关于机构或者说结构精确约束与自由度的资料读。后进初学写这个笔记目的第一是将资料转化为自己的知识，第二也让论坛大侠对不对之处给于指点。
书籍参考： 1，Fundamental of design

                   2，线性代数
                   3，Douglass L. Blanding - Exact Constraint：Machine Design Using Kinematic Principles
                   4，黄真 -论机构自由度
                   5，机器人操作的数学导论 李泽湘

       在机械设计的早期工作，在不涉及机构的具体数据校核时，需要快速对机构的一些运动特性进行定性分析，特别是当外界由诸多限制因素，需要单自由度或者多自由度的机构进行组合时，机构正确的运动特性的分析就特别重要，螺旋和反螺旋理论分析工具在简单，快速，准确方面有非常优秀的表现。
在说螺旋（或者说旋量）前，有2个经常的接触的证明先写出来：
1，Chasles理论：刚体从一个位置到另一个位置的运动可通过绕某一直线的转动及平行该直线的平动达成（也称速度螺旋）
2，Poinsot理论：作用在刚体的任何力系可以合成为一个作用于某作用线的集中力和绕该直线的力偶。（也称力螺旋）

一，plucker坐标和空间中点、线、面的矢量方程
       工程中运动的刚体简单说是点的集合，2点之间为线，3点确定了一个平面，从线代数学的向量空间角度说，1个向量基表示的是直线，2个向量基表示的是平面是对应的。
       1-1空间中使用齐次坐标描述点，表示是r（xi+yj+zk+d）
       1-2空间中有2点A和B，S=Rb-Ra，S表示空间的直线矢量，矢量的一般表达方式是大小和方向的点积，而且矢量是个自由移动量，概念上理解，空间中只要大小数值和方向一样的矢量都是相同的。但是实际工程中，建立坐标系后，必须对设立的评估矢量进行准确定义，因此发明了plucker坐标（S，So），S表示的矢量本身的状态（大小数值和方向），So表示的矢量在坐标系中的位置，用矢量与原点之间的距离表示。同时plucker坐标也被称为对偶矢量，S表示原部矢量，So表示对偶矢量

     具体的方程式：r x S= r1 x S=So，其核心就是2个矢量的叉积公式，从公式左右两端和图片，可以有2个结论：
     1.1 S和So是相交及互相垂直的2个矢量，所以点积为0即，S·So=0
     1.2 S 和So在坐标系中可以分解为各分向量，存在S=Li+Mj+Nk   和So=Pi+Qj+Rk，因此Plucker坐标可以写成（L，M，N，P，Q，R）
      空间中面的矢量表示方式核心思路:平面的法线矢量与平面中任意直线的点积为0（这个在托马斯微积分有类似定义，不多说）

二，线矢量，旋量，旋量节距，偶量

      将矢量的直线方程的概念引申为空间中某个单位矢量被困在空间中方向、位置都固定的直线上，该矢量称作线矢量，标记为（S，So），其中S是单位矢量，So是位置确定矢量，根据定义S·So=0
      旋量是指空间中S·So≠0的对偶矢量，线矢量是旋量的特殊情况，另外把h=S·So/S·S公式得出的数值称为旋量节距（在这里其实有点没明白公式来源，托马斯微积分关于一个向量在另一个向量的上投影Projv有类似的公式），plucker坐标表示为（S，So'），此处So'只是用来区分So，表示不同的矢量

      偶量的定义在旋量节距的分析上，S=0的对偶矢量，plucker坐标为（0，S），S是单位矢量

旋量的特性一：运算法则，代数和和数乘满足线性关系，即满足矢量运算法则

      旋量、线矢量，偶量，旋量节距的关系：空间中有应该旋量，沿着S的方向进行投影分解，按照矢量投影的关系，旋量可以表达为（S，S'o-hs+hs），根据运算法则，可以表示为（S，S'o-hS）+(0，hS），又因为S'o-hS=So，所以（S，S'o）=（S，So）+(0，S），公式表示：普通旋量可以用一个线矢量和偶量的组合表示


旋量的特性二：线矢量的互矩及旋量的互易积
1，线矢量的互矩：空间中有2个想错的线矢量，它们之间的公垂线长度为a12，扭转角为α12，公垂线与S1和S2的交点的齐次坐标是r1和r2，
      因此: r1XS1=So1
               r2xS2=So2
      核心公式：R12，S1，S2三个不共面的向量混合积公式，并将结果定义为互矩
      公式表现形式：Mm=（r2-r1）XS1·S2=（r2-r1）XS2·S1=S1·So2+S2·So2
      由互矩的核心可以推论出，当互矩Mm=0时，3个向量会线性相关，降维为平面，外在表现就是S1和S2平行，或者S1和S2相交了，从这里可以证明在机械机构概念中，平行线段和相交是等效的一种理论解释


2，旋量的互易积：这个概念只是线矢量的互矩的延伸推广，表达的是一般情况，
     公式形式：$1·$2=S1·S'o2+S2·S'o1
3，互易积（互矩）的坐标无关性：这个证明了旋量之间的关系与建立的坐标原点没有任何关系（这里就不写了，感兴趣的可以自己去看书）

三刚体速度螺旋和力螺旋的实际表达
    速度螺旋：
    1，刚体绕某轴做纯转动时，这个在平面机构里面最常见，plucker坐标（对偶矢量）的表达方式由2部分确定，转动的角速度ω和转动轴线的位置，合起来就是ω$=ω（S，So）=（ωS，ωSo）=（W，Vo），Vo=ω·r x S=Wxr，从plucker坐标表示就是线矢量坐标

    2，刚体纯平动：V=νS=（0，vS），而运动轴线可以平行于移动方向的任何轴线，或者说转动轴线在无穷远的地方，plucker坐标表示就是一个偶量
    3，空间符合运动根据定义可以表示为前面2点的组合，plucker坐标就是一个旋量坐标

    力螺旋：
    1，沿某轴线的集中力:plucker坐标同理要有2部分确定，力的大小和轴线的位置，因此是一线矢量的坐标f$=f（S，So）=（F，M）

    2，纯力偶，plucker坐标表现为偶量坐标：m$=(0,mS)=(0,M)
    3，复合受力状态根据定义表现为纯力和力偶的组合，plucker坐标就是一个旋量坐标


tips:根据互易积的定义，速度螺旋和力学的互易积就是功率的表达式: P=S1·S'o2+S2·S'o1=F·Vo+w·M，这里可以思考下，如何互易积为0时，这个代表着什么？

好了，螺旋理论的基础部分基本写完了，慢慢更新后面的笔记理解，学了这个理论发现对自己帮忙最大，但是也存在很多不明白的地方，因此，写出来和大家互相讨论学习