傅立叶变换的一个例子（转）

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图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度 的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如:大面积的沙漠在图像中是一片灰度 变化缓慢的区域，对应的频率值很低;而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在 图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。设 f 是一个能量有限的 模拟信号，则其傅里叶变换就表示 f 的谱。
从物理效果看，傅里叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是 将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅里叶变换的物理意义是将图像的 灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅里叶逆变换是将图像的频率分布 函数变换为灰度分布函数。
傅里叶变换以前，图像(未压缩的位图)是由对在连续空间(现实空间) 上的采样得到一系列点的集合，用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由 z = f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另 一个维度上的关系就由梯度来表示。
对图像进行二维傅里叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频 谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下 也是没有。
从傅里叶频谱图上看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点 差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小(图像中的低频部分指低 梯度的点，高频部分相反)。梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。
傅里叶变换后的频谱图，也叫功率图。
可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像 是比较柔和的(因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小)，反之，如果频谱 图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异 较大的。
对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称 分布的。将频谱移频到圆心可以分离出有周期性规律的干扰信号(带有正弦干 扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的)，这时可以很直观的通过在 该位置放置带阻滤波器消除干扰。
图像经过二维傅里叶变换后，其变换系数矩阵表明若变换矩阵 Fn 原点设在 中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近，若所用的二维傅里叶 变换矩阵 Fn 的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角 上。这是由二维傅里叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低 频区域。
变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是 低频，最亮，亮度大说明低频的能量大(幅角比较大)。
这样通过傅利叶变换，就能简化计算，识别图像特征。

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传热学计算，用傅立叶，陀螺仪的一个分支也用这东西

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本质上都是信号拟合和逆解算。解算的过程中包含特征值分析和局部异常值统计。
算法都有稳定性、可靠性要求。有时候考虑到存储空间大小还要滤波处理，虽然有信息损失但工程上合用。

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傅里叶变换和拉式变换，本质上都是线性变换。他们的积分核中都有自然对数为底的指数函数。
而线性世界的基函数中，常数和自然对数底的指数的对数最常见。线性变换，本质意义就是
一个基函数的线性空间变到另外一个基函数的线性空间。

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傅利叶变换用途广泛的原因 主要原因是傅利叶变换有下面这些优点。 ● 傅里叶变换是线性算子, 若赋予适当的范数, 它还是酉算子;
● 傅里叶变换属于谐波分析;
● 傅里叶变换的逆变换容易求出, 而且形式与正变换非常类似;
● 正弦基函数是微分运算的本征函数, 从而使得线性微分方程的求解可以转 化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算, 从而提供了计算卷积的一种简单手段;
● 离散形式的傅里叶的物理系统内(线性时不变), 频率是个不变的性质, 从 而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;
● 卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从 而提供了计算卷积的一种简单手段;
● 离散形式的傅立叶变换可以利用快速傅里叶变换算法 (FFT)。