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转贴:数学家张益唐攻克 Landau-Siegel 零点猜想相关论文发布...

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发表于 2022-11-10 16:55:01 | 显示全部楼层 |阅读模式
这是张益唐亲自写的文章,转贴过来(原文:https://www.zhihu.com/question/564799818/answer/2752632822):
谢谢知乎的邀请。先简单回答几个答主的问题。
关于论文里很多参数都是取 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-5-Frame" tabindex="0" data-mathml="log&#x2061;D" role="presentation">
的固定幂次,是不是为了凑2022这个数的问题,从Landau-Siegel零点本身来讲应该是 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-2-Frame" tabindex="0" data-mathml="log&#x2061;D" role="presentation">
的一个幂次,而他们猜想的实际上应该是负一次方,我这个方法应该能得到负几百,这个数倒不是故意凑的,但是到底几百的多少,我也没有仔细算,我能够保证的是2022正好差不多到这儿就可以了,正好今年是2022,我顺便定在这儿。经常有人干这种事情,所以这也没有什么特别含义,就像之前的7000万也是。
定理1的2022变小肯定是可以的,但是L函数导数在s=1附近的阶,目前只有平凡估计。比如说 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-11-Frame" tabindex="0" data-mathml="L&#x2032;(s,&#x03C7;)&#x226A;(log&#x2061;D)2" role="presentation">
,这个二次方目前没有办法改进,只能用这个平凡的界。不过这个对我们整个论证过程来讲,影响不是太大。
有人问到我论文中引用1975年Goldfeld用复变积分法得到的结果:如果Landau-Siegel猜想成立则可以推出 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-6-Frame" tabindex="0" data-mathml="L(1,&#x03C7;)&#x226B;(log&#x2061;D)&#x2212;1" role="presentation">
,即负一次方的下界。但如果用这个下界反推,只能给出 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-7-Frame" tabindex="0" data-mathml="log&#x2061;D" role="presentation">
负三次方的非零区域。
是这样,一个方向能够到负一次方,另一个方向如果直接这么弄的话显得有些别扭。目前来看确实是这种情况,两边显得好像不太对称。如果就零点和 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-8-Frame" tabindex="0" data-mathml="L(1,&#x03C7;)" role="presentation">
下界之间的关系做一个更新颖的探索,这是完全有可能的,这方面完全可以有一些新的东西。
关于我的论文里证明了一系列的L函数在一个离实轴较远的区域 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-4-Frame" tabindex="0" data-mathml="&#x03A9;" role="presentation">
里的零点都落在临界线(即实部为1/2的竖线)上。在知乎上,有人问到这部分的方法有没有可能被用来研究L函数在 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-3-Frame" tabindex="0" data-mathml="&#x03A9;" role="presentation">
区域之外的零点分布。
他可能觉得我这部分写得比较乱。我的 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-9-Frame" tabindex="0" data-mathml="t0" role="presentation">
是 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1-Frame" tabindex="0" data-mathml="log&#x2061;D" role="presentation">  的519次方。严格讲如果和D相比的话,它不算大。但是我要取成这样,比  <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-10-Frame" tabindex="0" data-mathml="log&#x2061;D" role="presentation">
  大一点,比实轴高出一截。因为一到实轴上我用的L函数渐近公式就会显得很乱,因为Gamma因子包含在函数方程中,当然s在实轴上还可能会出现奇点等麻烦,所以我通过这种办法将问题避开了。
我做的大部分都是技术性的。为什么非要这么取?换一种方法取可不可以?也是完全可能的。但是你做的时候就知道只能取一个,而且希望能取一个相对简单、清楚的,至于目前的取法是否是最简单、最清楚的我也不敢说。
还有一个关于等差数列的问题,提到 Bombieri-Vinogradov定理的证明,D较小的时候是用Siegel-Walfisz定理处理,而D较大时用大筛法不等式做。知乎上还有人问如果把我的新误差代入进去,会不会把Bombieri-Vinogradov中的1/2幂次改良?
直接来讲不能改良1/2,但能把误差上界改进。Bombieri-Vinogradov定理中的误差上界是 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-12-Frame" tabindex="0" data-mathml="x/(log&#x2061;x)A" role="presentation">
的形式。你们仔细看证明过程,其实关键的部分就是对D较小时的处理。那部分的误差项只能一个一个做、一个一个去估计。这里最大的一个障碍还是Siegel零点的问题,这导致大O上界中的常数是不能被有效计算出来的。而现在,我这个东西把这两个突破了。第一,定理里头D的范围不再是 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-13-Frame" tabindex="0" data-mathml="x/(log&#x2061;x)A" role="presentation"> 的形式了,这个范围应该是可以算出来的。第二,误差上界中的常数可以被有效计算出来了。在Bombieri-Vinogradov定理的证明里,尽管有各种各样的证明,它最后都是归结到原特征的时候,对D较大的情况,用大筛法不等式去做,出来的实际上 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-14-Frame" tabindex="0" data-mathml="x1&#x2212;&#x03B4;" role="presentation">
形式的项。反而在D比较小时,Siegel零点的存在性就会让误差项差这么一点。肯定谁也不喜欢用Siegel-Walfisz的方法去处理,但是没有办法。
很多人对我的经历很感兴趣,觉得我花了这么多年研究非常困难的数学问题,有没有想过放弃,是怎么坚持下来的。我也想借此机会和大家聊聊。
关于Landau-Siegel猜想,我没有想过放弃,因为这些年我的整个思考也是断断续续的。2007年我发过一篇关于Landau-Siegel的论文,其实当时是有可能继续做下去的,但是后来遇到了一个情况,就是孪生素数的问题一下变得热门了,所以2010年到2013年去做孪生素数去了,就做出来一个7000万的结果。后来想想,觉得Landau-Siegel还得做,所以就又回到这个问题上。我一般是几个问题同时在想,一段时间注重这个,一段时间注重那个,Landau-Siegel实际上上世纪末我就开始想了,我喜欢几个问题一起想,有一个问题初步想出来了,其他那些就接着想,都是比较大的问题。
前几天论文公开后,我给北大做了一场远程讲座。我在北大读研时的导师潘承彪评价:今天听了益唐讲的想法很清楚,这是一个重要的筛法新思想,有很大发展潜力,可实现起来很难。



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JP80X + 3 庾信平生最萧瑟,暮年诗赋动江关.

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 楼主| 发表于 2022-11-10 16:56:14 | 显示全部楼层
我当即回复:听了潘老师的肯定,比听一万个人的赞扬更有价值。

今天,我又和知乎上一个关注我论文的小伙子交流,了解到他在伦敦读大一,学数学。我觉得他是非常不容易的,因为他大一已经能够学到我在研究生时候学的课程,说明他进步很快,付出了很多,确实是非常聪明的一个小伙子。希望像他一样的年轻人能发挥自己的想象力,不要把前人的东西看成至高无上的。这个东西别人这么做的我能不能换一种做法,或者我能不能突破它?不断自我提问,不断自我尝试,走出新的路子来,你们这些年轻人的前程是非常远大的。

关于我的未来,这些数学问题我是不会丢掉的。我觉得我大概这一辈子就是做数学的命了,我不做数学都不知道干什么。别人谈过有没有退休的问题,我说如果我真的离开数学了,我确实不知道我该怎么活。

平时在家里,我夫人总是觉得我一个人不太说话,吃完饭自己在房间里一待,耳机一挂自己听音乐,玩自己的。她怕我这样慢慢会神经,还开玩笑说,我老了要是神经了,她可受罪了,还得给我推轮椅。所以她每天把菜切好让我回家以后学炒菜,不管炒成什么样也要炒。周末有时候也找几个做数学的同事来家里坐坐,喝酒聊天,但他们说我聊着聊着眼光不对,就走神了。夫人经常批评我这样不礼貌,说我这样将来就没有朋友了。

我夫人觉得我浪漫的时候不多,就连去维也纳听音乐会都要跑到维也纳大学,去找哥德尔的雕像,找了半天也没找到,直到碰到一个刚下班的教授,告诉我们这里没有哥德尔的雕像才走。但是我很感谢她带我来听音乐会,因为我喜欢听交响乐,著名的古典音乐大师我都喜欢,首先是贝多芬,特别爱听他的第六交响曲。


作者:张益唐
链接:https://www.zhihu.com/question/564799818/answer/2752632822
来源:知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。

另外我有点特别的是还喜欢勃拉姆斯,其他的像柴可夫斯基,还有肖邦的钢琴曲我也特别喜欢,尤其是他的作品53号,降A大调波罗乃兹。

其实我年轻的时候也喜欢那时候的校园歌曲,苏小明就是我那时候的“偶像”。我同学说我当年在北大宿舍里,谁提苏小明不好还跟人翻脸。前一段我和夫人去普林斯顿的时候,住在北大校友吴刚的家里,他家有卡拉OK,我们还放苏小明的歌在那儿唱,虽然可能跑调了,因为他们都笑我。

我也很喜欢中国的古典诗词,其中最欣赏杜甫的诗,比如”剑外忽传收蓟北,初闻涕泪满衣裳”。还有“却看妻子愁何在,漫卷诗书喜欲狂。白日放歌须纵酒,青春作伴好还乡。”杜甫有他自己的奔放,“即从巴峡穿巫峡,便下襄阳向洛阳。”百读不厌,怎么品这个味道都觉得特别好。杜甫的诗太多了,“风急天高猿啸哀,渚清沙白鸟飞回。无边落木萧萧下,不尽长江滚滚来。”还有下面两句我也特别喜欢,“万里悲秋常作客,百年多病独登台。”对仗对得非常好,而且很自然,流传了一千多年,让后人一个字一个字地去品它的味道。

几年前,有位导演找到我说,想把我的故事拍成电影,就像纳什的《A Beautiful Mind》。我是不希望拍,毕竟网络已经把我说得够多了,我希望最好不要再给我干扰。纳什是一个伟大的数学家,他在数学等好几个领域里都有独特的贡献,这部电影拍得非常好。中文翻译成“美丽心灵”,我遇到很多年轻的中国留学生,他们都看过。

我现在也会帮我的小孙女讲讲数学。她上二年级的时候就特别喜欢数学,还报了一个电脑编程班。那个班里都是高中生,她是最小的,那时候连乘法都不会,后来我帮她补了补。现在9岁了,也一直跟着上到四年级了,学校给她选到数学天才班里了。她很有天赋,说爷爷我要完成你的心愿,替你得菲尔茨奖。其实对这个奖我也没什么遗憾,我没有把这些东西看得太重。

九年前,我第一次访问普林斯顿,有人问我有哪一句诗能概括你当时的心情。我引用了杜甫五首咏怀古迹里的第一首的最后两句:“庾信平生最萧瑟,暮年诗赋动江关”。

今天还是这句。
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发表于 2022-11-11 09:58:39 | 显示全部楼层
他确实是个真诚的人
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