这是张益唐亲自写的文章,转贴过来(原文:https://www.zhihu.com/question/564799818/answer/2752632822):
谢谢知乎的邀请。先简单回答几个答主的问题。 关于论文里很多参数都是取 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-5-Frame" tabindex="0" data-mathml="log⁡D" role="presentation"> 的固定幂次,是不是为了凑2022这个数的问题,从Landau-Siegel零点本身来讲应该是 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-2-Frame" tabindex="0" data-mathml="log⁡D" role="presentation"> 的一个幂次,而他们猜想的实际上应该是负一次方,我这个方法应该能得到负几百,这个数倒不是故意凑的,但是到底几百的多少,我也没有仔细算,我能够保证的是2022正好差不多到这儿就可以了,正好今年是2022,我顺便定在这儿。经常有人干这种事情,所以这也没有什么特别含义,就像之前的7000万也是。 定理1的2022变小肯定是可以的,但是L函数导数在s=1附近的阶,目前只有平凡估计。比如说 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-11-Frame" tabindex="0" data-mathml="L′(s,χ)≪(log⁡D)2" role="presentation"> ,这个二次方目前没有办法改进,只能用这个平凡的界。不过这个对我们整个论证过程来讲,影响不是太大。 有人问到我论文中引用1975年Goldfeld用复变积分法得到的结果:如果Landau-Siegel猜想成立则可以推出 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-6-Frame" tabindex="0" data-mathml="L(1,χ)≫(log⁡D)−1" role="presentation"> ,即负一次方的下界。但如果用这个下界反推,只能给出 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-7-Frame" tabindex="0" data-mathml="log⁡D" role="presentation"> 负三次方的非零区域。 是这样,一个方向能够到负一次方,另一个方向如果直接这么弄的话显得有些别扭。目前来看确实是这种情况,两边显得好像不太对称。如果就零点和 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-8-Frame" tabindex="0" data-mathml="L(1,χ)" role="presentation"> 下界之间的关系做一个更新颖的探索,这是完全有可能的,这方面完全可以有一些新的东西。 关于我的论文里证明了一系列的L函数在一个离实轴较远的区域 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-4-Frame" tabindex="0" data-mathml="Ω" role="presentation"> 里的零点都落在临界线(即实部为1/2的竖线)上。在知乎上,有人问到这部分的方法有没有可能被用来研究L函数在 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-3-Frame" tabindex="0" data-mathml="Ω" role="presentation"> 区域之外的零点分布。 他可能觉得我这部分写得比较乱。我的 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-9-Frame" tabindex="0" data-mathml="t0" role="presentation"> 是 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1-Frame" tabindex="0" data-mathml="log⁡D" role="presentation"> 的519次方。严格讲如果和D相比的话,它不算大。但是我要取成这样,比 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-10-Frame" tabindex="0" data-mathml="log⁡D" role="presentation"> 大一点,比实轴高出一截。因为一到实轴上我用的L函数渐近公式就会显得很乱,因为Gamma因子包含在函数方程中,当然s在实轴上还可能会出现奇点等麻烦,所以我通过这种办法将问题避开了。 我做的大部分都是技术性的。为什么非要这么取?换一种方法取可不可以?也是完全可能的。但是你做的时候就知道只能取一个,而且希望能取一个相对简单、清楚的,至于目前的取法是否是最简单、最清楚的我也不敢说。 还有一个关于等差数列的问题,提到 Bombieri-Vinogradov定理的证明,D较小的时候是用Siegel-Walfisz定理处理,而D较大时用大筛法不等式做。知乎上还有人问如果把我的新误差代入进去,会不会把Bombieri-Vinogradov中的1/2幂次改良? 直接来讲不能改良1/2,但能把误差上界改进。Bombieri-Vinogradov定理中的误差上界是 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-12-Frame" tabindex="0" data-mathml="x/(log⁡x)A" role="presentation"> 的形式。你们仔细看证明过程,其实关键的部分就是对D较小时的处理。那部分的误差项只能一个一个做、一个一个去估计。这里最大的一个障碍还是Siegel零点的问题,这导致大O上界中的常数是不能被有效计算出来的。而现在,我这个东西把这两个突破了。第一,定理里头D的范围不再是 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-13-Frame" tabindex="0" data-mathml="x/(log⁡x)A" role="presentation"> 的形式了,这个范围应该是可以算出来的。第二,误差上界中的常数可以被有效计算出来了。在Bombieri-Vinogradov定理的证明里,尽管有各种各样的证明,它最后都是归结到原特征的时候,对D较大的情况,用大筛法不等式去做,出来的实际上 <span style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;" class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-14-Frame" tabindex="0" data-mathml="x1−δ" role="presentation"> 形式的项。反而在D比较小时,Siegel零点的存在性就会让误差项差这么一点。肯定谁也不喜欢用Siegel-Walfisz的方法去处理,但是没有办法。 很多人对我的经历很感兴趣,觉得我花了这么多年研究非常困难的数学问题,有没有想过放弃,是怎么坚持下来的。我也想借此机会和大家聊聊。 关于Landau-Siegel猜想,我没有想过放弃,因为这些年我的整个思考也是断断续续的。2007年我发过一篇关于Landau-Siegel的论文,其实当时是有可能继续做下去的,但是后来遇到了一个情况,就是孪生素数的问题一下变得热门了,所以2010年到2013年去做孪生素数去了,就做出来一个7000万的结果。后来想想,觉得Landau-Siegel还得做,所以就又回到这个问题上。我一般是几个问题同时在想,一段时间注重这个,一段时间注重那个,Landau-Siegel实际上上世纪末我就开始想了,我喜欢几个问题一起想,有一个问题初步想出来了,其他那些就接着想,都是比较大的问题。 前几天论文公开后,我给北大做了一场远程讲座。我在北大读研时的导师潘承彪评价:今天听了益唐讲的想法很清楚,这是一个重要的筛法新思想,有很大发展潜力,可实现起来很难。
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