证明n^2+1没有形如4k+1的素因数

数学有啥用

1^1+1=2
2^2+1=5
3^3+1=10=2*5
4^2+1=17
5^2+1=26=2*13
6^2+1=37
7^2+1=50=2*5*5
8^2+1=65=5*13
9^2+1=82=2*41
10^2+1=101
这里有个规律，就是除了2以外，所有的素因数都是形如4k+1，5, 13, 17, 37, 41, 101, 等等，找不到形如4k+3的素因数，比如3, 7, 11这种

能证明这个规律么

寂静回声

搜索到一个用二次剩余理论的证明方法，不过没看懂论证过程